[NOIP2012]国王游戏

题解

内容摘自李煜东所著《算法竞赛进阶指南》
由于本题输出过大，要用高进度，但是这里主要讨论贪心，请先无视高精度

按照每个大臣左、右手上的数的乘积从小到大排序，就是最优排队方案。这个贪心算法可以使用微扰（临项交换）证明。
对于任意一种排序，设$n$名大臣左、右手上的数分别是$A[1]$到$A[n]$与$B[1]$到$B[n]$，国王里的数是$A[0]$和$B[0]$。
如果我们交换两个相邻的大臣$i$与$i+1$，在交换前这两个大臣获得的奖励是：

$\displaystyle \frac{1}{B[i]} \times \prod_{j=0}^{i-1} A[j] $与$\displaystyle \frac{1}{B[i+1]} \times \prod_{j=0}^i A[j]$

交换之后这两个大臣获得的奖励是：

$\displaystyle \frac{1}{B[i+1]} \times \prod_{j=0}^{i-1} A[j] $与$\displaystyle \frac{A[i+1]}{B[i]} \times \prod_{j=0}^{i-1} A[j]$

其他大臣获得的奖励显然都不变，因此我们只需要比较上面两组式子最大值的变化。提取出公因式$\prod_{j=0}^{i-1}A[j]$后，实际上需要比较下面两个式子的大小关系：

$max(\frac{1}{B[i]},\frac{A[i]}{B[i+1]})$ ——$max(\frac{1}{B[i+1]},\frac{A[i+1]}{B[i]})$

两边同时乘上$B[i]\times B[i+1]$，变为比较：

$max(B[i+1],A[i]\times B[i])$ ——$max(B[i],A[i+1]\times B[i+1])$

注意到大臣手上的树都是正整数，故$B[i+1]\le A[i+1]\times B[i+1]$，且$B[i] \le A[i]\times B[i]$。

于是，当$A[i]\times B[i]\le A[i+1]\times B[i+1]$时，$左式\le 右式$，交换前更优。当$A[i+1]\times B[i+1]\le A[i]\times B[i]$时$ 右式\le 左式$，交换后更优。也就是说，在任何局面下，减小逆序对数都不会造成整体结果变差，而增加逆序对数则不会使整体结果变好。

最后，根据冒泡排序的知识，任何一个序列都能通过邻项交换的方式变为有序序列。故当逆序对数为0，即按上述方案排序时就是最优策略。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
const unsigned long long N=1000000000000000;
int n;
struct hand{
    int l,r;
}h[MAXN];
 
 
  
#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 10000000
#define DLEN 4
  
class BigNum
{
private:
    int a[5000];    //可以控制大数的位数 
    int len;       //大数长度
public:
    BigNum() { len = 1; memset(a, 0, sizeof(a)); }   //构造函数
    BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
    BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
    BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
  
    friend istream& operator>>(istream&, BigNum&);   //重载输入运算符
    friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&);   //重载输出运算符
  
    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算
  
    BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
    int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
    bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较
  
    void print();       //输出大数
};
BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
{
    int c, d = b;
    len = 0;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    while (d > MAXN)
    {
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);
        d = d / (MAXN + 1);
        a[len++] = c;
    }
    a[len++] = d;
}
BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
{
    int t, k, index, l, i;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    l = strlen(s);
    len = l / DLEN;
    if (l%DLEN)
        len++;
    index = 0;
    for (i = l - 1; i >= 0; i -= DLEN)
    {
        t = 0;
        k = i - DLEN + 1;
        if (k<0)
            k = 0;
        for (int j = k; j <= i; j++)
            t = t * 10 + s[j] - '0';
        a[index++] = t;
    }
}
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
{
    int i;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    for (i = 0; i < len; i++)
        a[i] = T.a[i];
}
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
{
    int i;
    len = n.len;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    for (i = 0; i < len; i++)
        a[i] = n.a[i];
    return *this;
}
istream& operator>>(istream & in, BigNum & b)   //重载输入运算符
{
    char ch[MAXSIZE * 4];
    int i = -1;
    in >> ch;
    int l = strlen(ch);
    int count = 0, sum = 0;
    for (i = l - 1; i >= 0;)
    {
        sum = 0;
        int t = 1;
        for (int j = 0; j<4 && i >= 0; j++, i--, t *= 10)
        {
            sum += (ch[i] - '0')*t;
        }
        b.a[count] = sum;
        count++;
    }
    b.len = count++;
    return in;
  
}
ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b)   //重载输出运算符
{
    int i;
    cout << b.a[b.len - 1];
    for (i = b.len - 2; i >= 0; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << b.a[i];
    }
    return out;
}
  
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
{
    BigNum t(*this);
    int i, big;      //位数   
    big = T.len > len ? T.len : len;
    for (i = 0; i < big; i++)
    {
        t.a[i] += T.a[i];
        if (t.a[i] > MAXN)
        {
            t.a[i + 1]++;
            t.a[i] -= MAXN + 1;
        }
    }
    if (t.a[big] != 0)
        t.len = big + 1;
    else
        t.len = big;
    return t;
}
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算 
{
    int i, j, big;
    bool flag;
    BigNum t1, t2;
    if (*this>T)
    {
        t1 = *this;
        t2 = T;
        flag = 0;
    }
    else
    {
        t1 = T;
        t2 = *this;
        flag = 1;
    }
    big = t1.len;
    for (i = 0; i < big; i++)
    {
        if (t1.a[i] < t2.a[i])
        {
            j = i + 1;
            while (t1.a[j] == 0)
                j++;
            t1.a[j--]--;
            while (j > i)
                t1.a[j--] += MAXN;
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];
        }
        else
            t1.a[i] -= t2.a[i];
    }
    t1.len = big;
    while (t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
    {
        t1.len--;
        big--;
    }
    if (flag)
        t1.a[big - 1] = 0 - t1.a[big - 1];
    return t1;
}
  
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算 
{
    BigNum ret;
    int i, j, up;
    int temp, temp1;
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        up = 0;
        for (j = 0; j < T.len; j++)
        {
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;
            if (temp > MAXN)
            {
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);
                up = temp / (MAXN + 1);
                ret.a[i + j] = temp1;
            }
            else
            {
                up = 0;
                ret.a[i + j] = temp;
            }
        }
        if (up != 0)
            ret.a[i + j] = up;
    }
    ret.len = i + j;
    while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
{
    BigNum ret;
    int i, down = 0;
    for (i = len - 1; i >= 0; i--)
    {
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;
    }
    ret.len = len;
    while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
        ret.len--;
    return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
{
    int i, d = 0;
    for (i = len - 1; i >= 0; i--)
    {
        d = ((d * (MAXN + 1)) % b + a[i]) % b;
    }
    return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
{
    BigNum t, ret(1);
    int i;
    if (n<0)
        exit(-1);
    if (n == 0)
        return 1;
    if (n == 1)
        return *this;
    int m = n;
    while (m>1)
    {
        t = *this;
        for (i = 1; i << 1 <= m; i <<= 1)
        {
            t = t * t;
        }
        m -= i;
        ret = ret * t;
        if (m == 1)
            ret = ret * (*this);
    }
    return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
{
    int ln;
    if (len > T.len)
        return true;
    else if (len == T.len)
    {
        ln = len - 1;
        while (a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
            ln--;
        if (ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
            return true;
        else
            return false;
    }
    else
        return false;
}
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
{
    BigNum b(t);
    return *this>b;
}
void BigNum::print()    //输出大数
{
    int i;
    cout << a[len - 1];
    for (i = len - 2; i >= 0; i--)
    {
        cout.width(DLEN);
        cout.fill('0');
        cout << a[i];
    }
    cout << endl;
}
 
bool cmp(hand a,hand b){
    return a.r*a.l<b.r*b.l;
}
 
int main(){
    cin>>n;
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>h[i].l>>h[i].r;
    }
    sort(h+1,h+1+n,cmp);
    BigNum ans=0;
    BigNum sum=l;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(sum/h[i].r>ans){
            ans=sum/h[i].r;
        }
        sum=sum*h[i].l;
    }
    ans.print();
    return 0;
}